"when George drew out a tin of pineapple from the bottom of the hamper ... we felt that life was worth living after all ... there was no tin-opener to be found ...
I took the tin off myself and hammered at it till I was worn out and sick at heart, whereupon Harris took it in hand.
We beat it out flat; we beat it back square; we battered it into every form known to geometry - but we could not make a hole in it.
Then George went at it, and knocked it into a shape, so strange, so weird, so unearthly in its wild hideousness, that he got frightened."

Jerome K. Jerome

Computational Topology is an emerging field on the border of mathematics and computer science, bifurcating from its slightly older cousin, Computational Geometry.

The goal of computational topology proper to GRTCI is to develop an algorithmic and combinatorial approach to abstract structures of topology with the aim of applying them in the science and engineering. The applications central to our interests are those in computer vision problems, namely, to analysis and reconstruction of digital images coming, for example, from medical imaging, to pattern recognition, and to topological analysis of multidimensional data. We should emphasize that computational topology is also applied to many other domains such as dynamical systems or material science.

Multiple topological structures are used: cellular complexes, in particular, cubical and simplicial, homology and homotopy, discrete Morse theory and discrete differential geometry. Our first specific goal is to enhance understanding the critical zones in self-intersection of imaged curves and surfaces where the mesh generation techniques break due to the singularity of the gradient vector field.

Our research project at GRTCI also aim at interactions between topology and imaging science going the other way around: computer visualization techniques can improve understanding topological and geometric  structures. Consequently, they can permit formulating mathematical conjectures to be proved or, conversely, construct counterexamples to false conjectures.


«Pour étendre les résultats précédents aux équations d’ordre supérieur au second, il faut renoncer à la représentation
géométrique qui nous a été si commode, à moins d’employer le langage de l’hypergéométrie à n dimensions
... Pour aller plus loin, il me fallait créer un instrument destiné à remplacer l’instrument géométrique
qui me faisait défaut quand je voulais pénétrer dans l’espace à plus de trois dimensions.
C’est la principale raison qui m’a engagé à aborder l’étude de l’Analysis Situs ».

[Poincaré 1901, 64]

La Topologie Computationnelle est un champ d'étude en émergence situé sur la frontière des mathématiques et de l'informatique, qui bifurque présentement de sa cousine en peu plus âgée, la Géométrie Computationnelle.

Un objectif de la topologie computationnelle propre au GRTC est de développer une approche algorithmique et combinatoire aux structures abstraites de la topologie dans le but de les appliquer en sciences et en génie. Nous nous intéressons surtout par des applications dans la vision par ordinateur, notamment : pour l'analyse et la reconstruction des images numériques provenant, par exemple, de l’imagerie médicale; pour la reconnaissance des formes; et pour l'analyse topologique de données multidimensionnelles. Il faut noter que la topologie est appliquée dans plusieurs autres domaines, par exemple, dans les systèmes dynamiques ou dans la science des matériaux.

Les structures topologiques utilisées sont multiples : complexes cellulaires et, en particulier, cubiques ou simpliciaux, homologie et homotopie, théorie de Morse discrète et géométrie computationnelle discrète. Notre premier but spécifique est d’améliorer la compréhension des zones critiques dans l’intersection des courbes et surfaces, ou des techniques de la génération de maillages échouent dû à la singularité du champ vectoriel gradient.    

Les projets de recherche du GRTC visent aussi des interactions entre la topologie et l'imagerie informatique allant dans l'autre sens : des techniques de la visualisation par ordinateur peuvent améliorer la compréhension de structures topologiques et géométriques, notamment, pour développer de meilleures intuitions et lancer des conjectures mathématiques, ou le contraire, construire des contre-exemples aux conjectures fausses.

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